Question

【题目】设函数f（x）= ﹣2x+ln（x+1）（m∈R）．
（Ⅰ）判断x=1能否为函数f（x）的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若存在m∈[﹣4，﹣1），使得定义在[1，t]上的函数g（x）=f（x）﹣ln（x+1）+x3在x=1处取得最大值，求实数t的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定义域为（﹣1，+∞）， ，令f'（1）=0，得 ； 当 时， ，当x∈ 和（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈ 时f′（x）＜0，
于是f（x）在 单调递增，在 单调递减，在（1，+∞）单调递增．
故当 时，x=1是f（x）的极小值点；
（Ⅱ） ．
由题意，当x∈[1，t]时，g（x）≤g（1）恒成立，
易得 ，令 ，
∵h（x）必然在端点处取得最大值，即h（t）≤0
即 ，即 ，
∵m∈[﹣4，﹣1），∴ ，解得， ，
所以t的最大值为
【解析】（Ⅰ）由f′（1）=0，求得m的值，将m的值代入f（x）解析式中，求出函数f（x）的单调区间，看f（x）在x=1的两侧的单调性是否相反，如果相反则x=1是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）由题意知，g（x）﹣g（1）≤0在[1，t]上恒成立，构造函数 ，根据m的范围求出t的取值范围，得出t的最大值．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．