Question

（2010•济南二模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D、E（图一），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图二）．

（1）若F是AB的中点，求证：CF∥平面ADE．
（2）P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．
（3）P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P-BE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点为M，连续FM，CM，根据中位线可知MF∥AD，而△BCD为等边三角形，则CM⊥BD，又DE⊥BD，所以CM∥DE，从而面CFM∥面ADE，CF?面CMF，根据面面平行的性质可知CF∥面ADE；
（2）由平面几何知识可知BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC，则AD⊥平面BDEC，从而AD⊥BE，根据线面垂直的判定定理可知BE⊥面ACD，而BE∈面PBE，最后根据面面垂直的判定定理可知平面ACD⊥平面PBE；
（3）根据（2）BE⊥面ACD，设BE∩CD=Q，则BE⊥CD，BE⊥PQ，根据二面角平面角的定义可知∠PQC为二面角P-BE-C的平面角，在三角形PQC中求出此角即可．

解答：解：（1）证明：取BD的中点为M，连续FM，CM
∵F为AB的中点，∴MF∥AD，
由题知△BCD为等边三角形，∴CM⊥BD，又DE⊥BD
∴CM∥DE，∴面CFM∥面ADE，CF?面CMF，CF∥面ADE
（2）证明：由平面几何知识：BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC∴AD⊥平面BDEC，∴AD⊥BE，∴BE⊥面ACDBE∈面PBE，
∴平面ACD⊥平面PBE
（3）由（2）BE⊥面ACD，
设BE∩CD=Q，
由题意知BE⊥CD，BE⊥PQ，∴∠PQC为二面角P-BE-C的平面角
AD=CD，∠ACD=45°∴△ACD∽△CPQ，∠PQC=45°
∴二面角P-BE-C的大小为45°

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，以及二面角的度量，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．