Question

已知椭圆（a＞b＞0）的焦点坐标为，离心率为．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，，a²=b²+c²得，，b=1，
所以椭圆方程是：；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
将y=kx+2代入，整理得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），
则，
以PQ为直径的圆过D（-1，0），
则，即，
所以=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂+1=（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=．
解得，此时（*）方程△＞0，
所以存在，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）．
分析：（Ⅰ）由焦点坐标可得c，由离心率可得a，由a²=b²+c²得b；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y，若存在以PQ为直径的圆过点D（-1，0），则，即，根据向量数量积运算、韦达定理即可得关于k的方程，解出k检验是否满足△＞0即可；
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系等知识，考查转化思想，解决（Ⅱ）问的关键是先假设存在，然后把问题转化为向量数量积为0求解．