Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

（1）求证：AO平面BCD，（2）求异面直线AB与CD所成角的大小，（3）求两面角O—AC—D的大小。          

Answer 1

(Ⅰ)见解析    (Ⅱ) ∠OEF=arccos。

 （Ⅲ）arctan.

解析:

：（1）证明：AB=AD,BO=OD AOBD,连接OC，

CB=CD,BO=OD, COBD,CO=,AO=1,又CA=2,

即AOOC,, AO平面BCD.

(2)取BC的中点E，AC的中点F，∵O为BD的中点，∴EF∥AB，EO∥CD∴∠OEF或其补角是AB与CD所成的角，∴连接OF，∵OF是RT△AOC斜边AC上的中线，∴OF=AC=1，∵EO=CD=1，EF=AB=,在△OEF中，由余弦定理得cos∠OEF=∴∠OEF=arccos。

（3）∵DO⊥OC,DO⊥AO，∴DO⊥平面AOC，过O作OG⊥AC于G连接DG

∴OG是DG在平面AOC上的射影，由三垂线定理得DG⊥AC，

∴∠OGD是二面角O—AC—D的平面角。

∵OG·AC=AO·OC，∴OG=，在RT△DOG中，tan∠DOG=,

∴∠OGD=arctan，∴二面角O—AC—D为arctan.