Question

14、将正三棱柱ABC-A′B′C′的六个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，现在有四种不同的颜色供选择，则不同的染法总数为

264

．

Answer 1

分析：根据题意，先分析下底面的涂色方案，有A₄³=24种情况；进而对上底面分析：按A的涂色种类分3种情况讨论，每种情况下先分析B，确定C的涂色方案；最后由分类计数原理，计算可得答案．

解答：解：根据题意，三棱柱的下底面的颜色互不相同，有A₄³=24种情况，
对上底面分情况讨论可得：
①、A点用第四种颜色，按B的颜色不同又分2种情况；
1°当B与C′处颜色一致时，C处有2种方法，
2°当B与A′处颜色一致时，C处有1种方法；
共3种方法；
②、A点的颜色与B′处一致时；按B的颜色不同又分3种情况；
1°当B处用第四种颜色时，C处有1种情况，
2°当B与A′处颜色一致时，C处有2种方法，
3°当B与C′处颜色一致时，C处有1种方法，
共1+2+1=4种方法；
③、A点的颜色与C′处一致时，与②的情况相同，有4种方法；
上底面共11种不同的方法；
综合可得：不同的染法总数为24×11=264种；
故答案为：264．

点评：本题考查排列、组合的综合运用，是典型的涂色问题；解决此类问题，一般要先定一点或面，进而对其他的点面分情况讨论．