Question

靠在墙角的梯子可看作线段AB（如图所示），AB的长是5米，这时梯子的下端B距墙根O的距离是3米，现将B沿OB的方向向右移动梯子的下端B，梯子的新位置是A′B′，直至A下落到墙根O为止．设AA′=x，BB′=y
试建立y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析：由勾股定理，在Rt△ABO中算出A0=4（米），从而得到Rt△A'B'O中A'O=（4-x）米，B'0=（3+y）米，根据
A'O²+B'0²=A'B'²建立关系式，化简整理即得所求y关于x的函数关系式．

解答：解：在Rt△ABO中，AB=5米，B0=3米，
故A0=

AB2-BO2

=4（米），
在Rt△A'B'O中，A'B'=AB=5米，A'O=AO-A'A=（4-x）米，
而B'0=OB+BB'=（3+y）米
∵A'O²+B'0²=A'B'²，
∴（4-x）²+（3+y）²=5²=25，
整理得y=

25-(4-x)2

-3=

-x2+8x+9

-3
根据A'O＜AO，得函数的定义域为（0，4）
即函数的表达式为y=

-x2+8x+9

-3，x∈（0，4）

点评：本题给出实际应用问题，求y关于x的函数关系式．着重考查了勾股定理和在实际问题中建立数学模型等知识，属于中档题．