【题目】椭圆
的离心率是
，且以两焦点间的线段为直径的圆的内接正方形面积是
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过左焦点
的直线
与相交于
、
两点，直线
，过作垂直于的直线与直线
交于点
，求
的最小值和此时的直线的方程.
【答案】（1）
；（2）
的最小值为
，此时直线
的方程为
.
【解析】
（1）由离心率及圆内接正方形的面积和
、
、
之间的关系可求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得左焦点
的坐标，设直线的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长
的值，再由题意设
的方程，令
求出
的纵坐标，即求出了的坐标，进而求出
的值，求出所以比值的表达式，由均值不等式求出最小值.
（1）由题意可得
，解得
，
，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）得左焦点
，显然直线的斜率不为
，
设直线的方程为
，设
、
，
联立直线与椭圆的方程
，整理可得
，
，
，
所以弦长
.
由题意设直线的方程为
，令可得
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以的最小值为，此时直线的方程为.
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【题目】已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交抛物线
于
和
两点.
（1）当
时，求直线
的方程；
（2）若过点
且垂直于直线的直线
与抛物线交于
两点，记
与
的面积分别为
，求
的最小值.
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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），曲线
的方程为
.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线的极坐标方程；
（2）曲线
分别交直线l和曲线于点A，B，求
的最大值及相应
的值.
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【题目】下表是某公司
年
月份研发费用
（百万元）和产品销量
（万台）的具体数据：
月 份 |
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研发费用（百万元） |
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产品销量（万台） |
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（1）根据数据可知与之间存在线性相关关系，用线性相关系数说明与之间的相关性强弱程度
（2）求出与的线性回归方程（系数精确到
），并估计当研发费用为
（百万元）时该产品的销量.
参考数据：
，
，
，
参照公式：相关系数
，其回归直线
中的
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【题目】坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点
的极坐标为
，直线
的极坐标方程为
，且点在直线上
（Ⅰ）求
的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；
（Ⅱ）已知曲线
的参数方程为
，（
为参数），直线与交于
两点，求
的值
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【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数，
）.以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求的普通方程和的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于
两点，且
的面积为
，求
.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD
.
（1）证明：AB⊥PD.
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【题目】已知抛物线
的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且
，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．
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