Question

【题目】轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上，在轮船出发时，轮船位于港口北偏西且与相距20海里的处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇.

（1）若使相遇时轮船航距最短，则轮船的航行速度大小应为多少？

（2）假设轮船的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短；（2）航向为北偏东，航速为30海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相遇.

【解析】试题分析：（1）设两轮船在处相遇，在 中，利用余弦定理得出关于t的函数，从而得出的最小值及其对应的，得出速度；
（2）利用余弦定理计算航行时间，得出 距离，从而得出 的度数，得出航行方案．

试题解析：（1）设相遇时轮船航行的距离为海里，则

.

∴当时， ， ，

即轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短.

（2）设轮船与轮船在处相遇，则 ，

即.

∵，

∴，即，解得，又时，

∴时， 最小且为，此时中，

∴航向为北偏东，航速为30海里/小时，

轮船能在最短时间与轮船相遇.