Question

已知抛物线C：y²=2px，点P（-1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出抛物线的方程，再将其与直线方程联立，利用线段AB的中点在直线x=7上，从而求出直线l的方程；
（2）利用点B在抛物线上及A为线段PB中点，求出点B的坐标，进而求出△FAB的面积．
解答：解：（1）因为抛物线的准线为x=-1，所以p=2，抛物线方程为y²=4x（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为y=k（x+1），（依题意k存在，且k≠0）与抛物线方程联立，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（*），x₁x₂=（14分）
所以AB中点的横坐标为，即所以（6分）
（此时（*）式判别式大于零）
所以直线l的方程为（7分）
（2）因为A为线段PB中点，所以（8分）
由A、B为抛物线上点，得，y₂²=4x₂（10分）
解得x₂=2，（11分）
当时，；当时，（12分）
所以△FAB的面积（14分）
点评：直线与圆锥曲线相交问题，既可从数的角度，也可从形的角度加以探究，应注意分类讨论和数形结合的思想方法的运用．