Question

f（x）是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（-1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在[-2，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）赋值法：令x=y=0，可求得f（0），令y=-x，可得f（-x）与f（x）的关系，由奇函数定义即可得证；
（2）利用单调性的定义：设x₂＞x₁，通过作差证明f（x₂）＜f（x₁）即可；
（3）由（2）知：f（x）_max=f（-2），f（x）_min=f（4），根据条件及奇偶性即可求得f（-2），f（4）．

解答：证明：（1）f（x）的定义域为R，
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），∴f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）设x₂＞x₁，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上为减函数．
（3）∵f（-1）=2，∴f（-2）=f（-1）+f（-1）=4，
又f（x）为奇函数，∴f（2）=-f（-2）=-4，
∴f（4）=f（2）+f（2）=-8，
∵f（x）在[-2，4]上为减函数，
∴f（x）_max=f（-2）=4，f（x）_min=f（4）=-8．

点评：本题考查抽象函数奇偶性、单调性的证明及应用，抽象函数的奇偶性、单调性的判断一般采取定义解决，而求最值则及解抽象不等式往往借助单调性．