Question

已知函数f（x）=

3

asinxcosx-a（cosx）²+b（a＞0）
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）设x∈[0，

π

2

]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求实数a的值．

Answer 1

分析：函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的单调递增区间；
（2）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数的值域，表示出函数的最小值与最大值，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

解答：解：f（x）=

3

2

asin2x-

a

2

（1+cos2x）+b=a（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）+b-

a

2

=asin（2x-

π

6

）+b-

a

2

，
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则函数的最小正周期为π，单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）_min=-

1

2

a+b-

a

2

=b-a=-1，f（x）_max=a+b-

a

2

=b+

a

2

=2，
解得：a=2，b=1．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．