Question

某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x≤

1

2

)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.5x．
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？

Answer 1

分析：（1）由题意可知，本年度每辆车的利润为10（1+0.75x）-8（1+x），本年度的销售量是12（1+0.5x），由此能求出年利润y与投入成本增加的比例x的关系式．
（2）设本年度比上年度利润增加为f（x），则f（x）=（-3x²+6x+24）-24=-3（x-1）²+3，因为x∈(0，

1

2

]，在区间(0，

1

2

]上f（x）为增函数，由此能求出当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多，交能求出最多为多少．

解答：解：（1）由题意可知，本年度每辆车的利润为10（1+0.75x）-8（1+x）
本年度的销售量是12（1+0.5x）×10⁴，
故年利润y=12（1+0.5x）[10（1+0.75x）-8（1+x）]×10⁴
=[（-3x²+6x+24）×10⁴，x∈（0，

1

2

]．…（6分）
（2）设本年度比上年度利润增加为f（x），
则f（x）=[（-3x²+6x+24）-24]×10⁴=[-3（x-1）²+3]×10⁴，
因为x∈(0，

1

2

]，
在区间(0，

1

2

]上f（x）为增函数，
所以当x=

1

2

时，函数y=f（x）有最大值为

9

4

×10⁴．
故当x=

1

2

时，本年度比上年度利润增加最多，
最多为2.25亿元．…（16分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．