Question

四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，如图所示.

（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD， ∴BA是PA在面ABCD上的射影. 又DA⊥AB，∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角如图，∠PAB=60°. 而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=a， ∴V锥=a·a2=a3. （Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE， ∴AE=CE，∠CED=90°，故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC， ∴a=OA＜AE＜AD=a. 在△AEC中， cosAEC=. 所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.