Question

已知函数，设

（Ⅰ）求函数的单调区间

（Ⅱ）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值

（Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）实数的最小值；（Ⅲ）当时，的图像与的图像恰有四个不同交点．

【解析】

试题分析：（I）求函数的单调区间，首先求出的解析式，得，求函数的单调区间，可用定义，也可用导数法，由于本题含有对数函数，可通过求导来求，对求导得，分别求出与的范围，从而求出的单调区间；（II）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值，可利用导数的几何意义表示出切线的斜率，根据恒成立，将分离出来得，即大于等于的最大值即可，这样求出的范围，从而得到的最小值；（III）函数的图象与的图象有四个不同的交点，即方程有四个不同的根，分离出后，转化成新函数的极大值和极小值问题，利用图像即可求出实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+(x>0), == 

∵a>0,由F^F'(x)>0Þx∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函数.

由F^F'(x)<0Þx∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数.

∴F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).

（Ⅱ）由F^F'(x)= （0<x≤3）得

k= F^F'(x₀)= ≤（0<x₀≤3）恒成立Ûa≥-x₀²+x₀恒成立.

∵当x₀=1时，-x₀²+x₀取得最大值

∴a≥,a的最小值为.

（Ⅲ）若y=g()+m-1=x²+m-的图像与y=f(1+x²)=ln(x²+1)的图像恰有四个不同交点，即x²+m-=ln(x²+1)有四个不同的根，亦即m=ln(x²+1)-x²+有四个不同的根.令= ln(x²+1)-x²+.

则G^F'(x)=-x==

当x变化时G^F'(x)、G（x）的变化情况如下表：

	（-¥，-1）	（-1,0）	（0,1）	（1，+¥）
GF'(x)的符号	+	-	+	-
G（x）的单调性	↗	↘	↗	↘

由上表知：G（x）_极小值=G（0）=, G（x）_极大值=G（-1）=G(1)=ln2>0

画出草图和验证G(2)=G(-2)=ln5-2+<可知，当m∈(,ln2)时，y=G(x)与y=m恰有四个不同交点.

∴当m∈(,ln2)时，y=g()+m-1=x²+m-的图像与y=f(1+x²)=ln(x²+1)的图像恰有四个不同交点.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．