Question

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）利用某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式．

解答：解：（1）数列-

1

2

，0，

1

2

为三阶期待数列…（1分）
数列-

3

8

，-

1

8

，

1

8

，

3

8

为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）
（2）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴（2k+1）a₁+

2k(2k+1)d

2

=0，
所以a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）
当d＞0时，据期待数列的条件①②得：a _k+2+a _k+3+…+a _2k+1=

1

2

，
∴kd+

k(k-1)

2

d=

1

2

，即d=

1

k(k+1)

由a_k+1=0得 a _1+k•

1

k(k+1)

=0，即 a₁=-

1

k+1

，
∴a_n=-

1

k+1

+（n-1）

1

k(k+1)

=

n

k(k+1)

-

1

k

（n∈N*，n≤2k+1）．…（7分）
当d＜0时，
同理可得kd+

k(k-1)

2

d=-

1

2

，即d=-

1

k(k+1)

由a_k+1=0得a1-k•

1

k(k+1)

=0，即a1=

1

k+1

，
∴an=

1

k+1

-(n-1)

1

k(k+1)

=-

n

k(k+1)

+

1

k

(n∈N*，n≤2n+1)．…（12分）

点评：本题考查新数列新定义的应用，求数列的通项公式的方法，考查分析问题解决问题的能力，难度中，考查计算能力．