Question

（09年江苏模拟）设函数f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

（1）当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;

（2）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;

（3）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解析：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.

求得

当时;;当时， 

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故.

（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则

当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)

（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)

单调递减区间为(0, )

而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m=

即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。