Question

【题目】已知函数有两个零点，且

（1）求的取值范围；

（2）证明：随着的增大而减小；

（3）证明：随着的增大而减小.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求导后，对分类讨论，利用导数研究单调性，根据单调性求出最大值，利用“函数有两个零点”等价于①；②存在，满足是；③存在，满足.再逐个加以验证即可得到答案；

（2）由，有，构造函数，利用导数进行研究可证结论；

（3）由，设，可得，构造函数，利用导数可得单调递增，结合（1）（2）的结论可证.

（1）的定义城为，由.

下面分两种情况讨论：

（ⅰ）时，在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.

（ⅱ）时，由，得.

当变化时，、的变化情况如下表：

		0
	递增		递减

这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.

于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：

①；②存在，满足是；③存在，满足.

由，解得.

而此时，取，满足，且；

取，满足，且，

令，，

因为，所以在上为递减函数，

所以，即，

故的取值范围是.

（2）证明：由，有，

设，由知在上单调递增，在上单调递减.

并且，当时，；当时，.

由已知，，满足.

由及的单调性，可得，.

对于任意的、，设，

﹐其中；，其中.

因为在上单调递增，所以由，即，可得.类似可得.

又由，，得，

所以随着的减小而增大.

（3）证明：由，

设，则，且

所.①

令，，则.

令，得.

当时，.因此，在上单调递增，

故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.

因此，由①可得随着的增大而增大.而由（2），随着的减小而增大，所以随着的增大而减小.而随着的增大而增大，因此随着的增大而减小.