Question

设函数f(x)=

x3

3

+

a

2

x2+bx+c(a，b，c∈R），函数f（x）的导数记为f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记F(n)=

1

f′(n)+2

，求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜

11

18

(n∈N^*）；
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n₀，使得|f′(n0)|≤

1

4

？说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f'（x）=x²+ax+b，由 a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求出a=-1，b=c=-3．
（2）根据F(n)=

1

f′(n)+2

=

1

n2-n-1

，F（1）和 F（2）都小于

11

18

，且F（1）+F（2）=0，当n≥3时，F（n）＜

1

3

 （

1

n-2

-

1

n+1

 ），用放缩法证明F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

2

-

1

5

)+(

1

3

-

1

6

)+…+(

1

n-2

-

1

n+1

)]=

1

3

[1+

1

2

+

1

3

-

1

n-1

-

1

n

-

1

n+1

]＜

11

18

＜

11

18

．
（3）根据 f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）=（α-1）（2-α）（β-1）（2-β ）≤[

(α-1)+(2-α)

2

]2[

(β-1)+(2-β)

2

]2=

1

16

，可得0＜|f′(1)|≤

1

4

，或0＜|f′(2)|≤

1

4

，故存在n₀=1或2，
使|f′(n0)|≤

1

4

．

解答：解：（1）f'（x）=x²+ax+b，由已知可得a=-1，b=c=-3．…（4分）
（2）f′(n)=n2-n-3，F(n)=

1

f′(n)+2

=

1

n2-n-1

，
当n=1时，F(1)=-1＜

11

18

；当n=2时，F(1)+F(2)=-1+1=0＜

11

18

；
当n≥3时，F(n)=

1

n2-n-1

＜

1

n2-n-2

=

1

(n+1)(n-2)

=

1

3

(

1

n-2

-

1

n+1

)．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

2

-

1

5

)+(

1

3

-

1

6

)+…+(

1

n-2

-

1

n+1

)]=

1

3

[1+

1

2

+

1

3

-

1

n-1

-

1

n

-

1

n+1

]＜

11

18

=

1

3

（1+

1

2

+

1

3

-

1

n-1

-

1

n

-

1

n+1

 ）＜

1

3

 （1+

1

2

+

1

3

 ）=

11

18

，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜

11

18

(n∈N^*）．…（9分）
（3）根据题设，可令f'（x）=（x-α）（x-β）．
∴f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=(α-1)(2-α)(β-1)(2-β)≤[

(α-1)+(2-α)

2

]2[

(β-1)+(2-β)

2

]2=

1

16

，
∴0＜|f′(1)|≤

1

4

，或0＜|f′(2)|≤

1

4

，所以存在n₀=1或2，使|f′(n0)|≤

1

4

．…（13分）．

点评：本题考查用放缩法、数学归纳法证明不等式，基本不等式的应用，是一道难题．