Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0.

(1)设动点P满足PF²－PB²＝4，求点P的轨迹；

(2)设x₁＝2，x₂＝，求点T的坐标；

(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

Answer 1

【答案】解：由题设得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)．

(1)设点P(x，y)，则PF²＝(x－2)²＋y²，PB²＝(x－3)²＋y².

由PF²－PB²＝4，得(x－2)²＋y²－(x－3)²－y²＝4，化简得x＝.

故所求点P的轨迹为直线x＝.

(2)由x₁＝2，＝1及y₁＞0，得y₁＝，则点M(2，)，从而直线AM的方程为y＝x＋1；

由x₂＝，＝1及y₂＜0，得y₂＝－，则点N(，－)，从而直线BN的方程为y＝.

由

所以点T的坐标为(7，)．

(3)由题设知，直线AT的方程为y＝ (x＋3)，直线BT的方程为y＝ (x－3)．

点M(x₁，y₁)满足

得.

因为x₁≠－3，则，

解得x₁＝，

从而得y₁＝.

点N(x₂，y₂)满足.

若x₁＝x₂，则由及m＞0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，过点D(1,0)．

若x₁≠x₂，则m≠2，直线MD的斜率k_MD＝，

直线ND的斜率k_ND＝，得k_MD＝k_ND，所以直线MN过D点．

因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)