Question

【题目】(2015·湖南）设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a1=1, a2=2，且an+1=3Sn-Sn+1+3(n)
（1）证明：an+2=3an；
（2）求Sn

Answer 1

【答案】
（1）

略。

（2）

Sn=

【解析】(I)由条件，对任意n ， 有an+2=3Sn-Sn+1+3(n)，因而对任意an+1=3Sn-1-Sn+3, (n), 两式相减可得an+2-an+1=3an-an+1, 即an+2=3an（n≥2），又a1=1, a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1, 故对一切n ， an+2=3an。
(II)由(I)知， an≠0，所以=3, 于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列，数列{a2n}是首项a1=2，公比为3的等比数列，所以a2n-1=3n-1, a2n=2x3n-1, 于是S2n=a1+a2+.....+a2n=（a1+a3+......a2n-1)+(a2+a4+.....+a2n)=(1+3+.....+3n-1)+2(1+3+......+3n-1)=3(1+3+......+3n-1)=, 从而S2n-1=S2n-a2n==-2x3n-1=(5x3n-2-1), 综上所述， Sn=
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．