Question

设椭圆T：（a＞b＞0），直线l过椭圆左焦点F₁且不与x轴重合，l与椭圆交于P、Q，当l与x轴垂直时，|PQ|=，F₂为椭圆的右焦点，M为椭圆T上任意一点，若△F₁MF₂面积的最大值为．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F₁旋转，与圆O：x²+y²=5交于A、B两点，若|AB|∈（4，）），求△F₂PQ的面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可将x=-c代入椭圆方程可得，结合c=可得y=，从而可求|PQ|，再由△F₁MF₂面积的最大值为可得=，由方程可求a，b进而可求椭圆方程
（2）设直线L：x=my-1，可求圆心O到直线L的距离d，由圆的性质可知AB=2=
由，可求m的范围，联立方程组消去x，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则根据方程的根与系数关系可得，，代入=，代入整理，结合函数的单调性可求S的范围
解答：解：（1）由题意可将x=-c代入椭圆方程可得，
∵c=
∴即y=
∴|PQ|=①
由已知可得=②
①②联立可得a²=3，b²=2
∴椭圆的方程为
（2）设直线L：x=my-1即x-my+1=0，圆心O到直线L的距离d=
由圆的性质可知AB=2=
又，则
∴m²≤3
联立方程组消去x可得（2m²+3）y²-4my-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
==

==（令t=m²+1∈[1，4]）
设f（t）=（t∈[1，4]）
则对一切t∈[1，4]恒成立
∴f（t）=4t+在[1，4]上单调递增，4t+
∴
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，点到直线的距离公式，圆的性质的应用，直线与圆锥曲线的相交关系的应用，还要具备一定的逻辑推理与运算的能力．