Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵（a+c）2=b2+3ac，

∴可得：a2+c2﹣b2=ac，

∴由余弦定理可得：cosB= = = ，

∵B∈（0，π），

∴B= ．

（Ⅱ）∵sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，

∴sin（C+A）+sin（C﹣A）=2sin2A，

∴sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA，可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，

∴cosA=0，或sinC=2sinA，

∴当cosA=0时，A= ，可得c= = ，可得S△ABC= bc= = ；

当sinC=2sinA时，由正弦定理知c=2a，由余弦定理可得：4=a2+c2﹣ac=a2+4a2﹣2a2=3a2，

解得：a= ，c= ，S△ABC= acsinB= × × =

【解析】（Ⅰ）整理已知等式可得a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可得cosB= ，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，可得cosA=0，或sinC=2sinA，

分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．

【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识，掌握余弦定理:;;．