Question

（2010•广州模拟）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（1）证明：当点E在棱AB上移动时，D₁E⊥A₁D；
（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设E（1，y₀，0）（0≤y₀≤2）分别求出

D1E

，

A1D

，然后计算数量积为0可判定D₁E⊥A₁D；
（2）先根据线面垂直求出平面D₁EC的法向量为

n1

，而平面ECD的一个法向量为

n2

=（0，0，1），要使二面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

，则cos

π

6

=|cos＜n1，n2＞|=

|n1•n2|

|n1|•|n2|

，可解得y₀，求出所求．

解答：解：以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．（1分）
设E（1，y₀，0）（0≤y₀≤2）．（2分）
（1）证明：
∵

D1E

=(1，y0，-1)，

A1D

=(-1，0，-1)．
则

D1E

•

A1D

=(1，y0，-1)•(-1，0，-1)=0，
∴

D1E

⊥

A1D

，即D₁E⊥A₁D． （4分）
（2）解：当AE=2-

3

3

时，二面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

．（5分）
∵

EC

=(-1，2-y0，0)，

D1C

=(0，2，-1)，（6分）
设平面D₁EC的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n1• EC =0 n1• D1C =0.

⇒

-x+y(2-y0)=0 2y-z=0.

（8分）
取y=1，则n₁=（2-y₀，1，2）是平面D₁EC的一个法向量．（9分）
而平面ECD的一个法向量为

n2

=（0，0，1），（10分）
要使二面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

，
则cos

π

6

=|cos＜n1，n2＞|=

|n1•n2|

|n1|•|n2|

=

2

(2-y0)2+12+22

=

3

2

，（12分）
解得y0=2-

3

3

（0≤y₀≤2）．
∴当AE=2-

3

3

时，二面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

．（14分）

点评：本题主要考查了两直线垂直的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．