Question

【题目】2022年，将在北京和张家口两个城市举办第24届冬奥会．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩,绘成如图所示的茎叶图,若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生定义为甲组，成绩在75分以下(不包括75分)定义为乙组．

(1)在这30名学生中,甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；

(2)①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少?

②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学(人数很多)中随机选取3人，用表示所选3人中甲组的人数,试写出的分布列，并求出的数学期望．

附： ；其中

独立性检验临界表:

	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

Answer 1

【答案】（1）没有90%的把握（2）①②

【解析】

（1）作出列联表，由列联表数据代入公式求出，从而得到没有的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（2）①用表示“至少有1人在甲组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在甲组的概率；②由题意知，，由此能求出的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望.

(1)作出列联表:

	甲组	乙组	合计
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合计	12	18	30

由列联表数据代入公式得，

故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．

(2) ①用A表示“至少有1人在甲组”，则．

②由题知，抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生，抽取1名学生是甲组学生的频率为，

那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，

又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，

的取值为0,1,2,3. 且

于是服从二项分布，即，

所以的数学期望为 ．