Question

设F₁、F₂是离心率为

5

的双曲线

x2

a2

-

y 2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0（O为坐标原点）且|PF₁|=λ|PF₂|则λ的值为（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、3
• D、

  1

  3

Answer 1

分析：取PF₂的中点A，推出

OA

⊥

F2P

，由OA 是△PF₁F₂的中位线，得到PF₁⊥PF₂，由双曲线的定义求出|PF₁|和|PF₂|的值，进而在△PF₁F₂中，由勾股定理得及

c

a

=

5

，解得λ的值．

解答：解：取PF₂的中点A，则

OP

+

OF2

=2

OA

，
∵(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，∴2

OA

•

F2P

=0，
∴

OA

⊥

F2P

，由 OA 是△PF₁F₂的中位线，
∴PF₁⊥PF₂，OA=

1

2

PF₁． 
由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=λ|PF₂|，∴|PF₂|=

2a

λ-1

，|PF₁|=λ•

2a

λ-1

．
△PF₁F₂中，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=4C²，
∴(λ•

2a

λ-1

)2+(

2a

λ-1

)2=4c²，
又

c

a

=

5

，∴(

1

λ-1

) 2•(λ2+1) = 5，∴λ=2，
故选A．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断△PF₁F₂是直角三角形，是解题的关键．