Question

设函数，．
（Ⅰ）若，求的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设有两个零点，且成等差数列，试探究值的符号．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在这样的k和m，且;（Ⅲ）的符号为正.

试题分析：（Ⅰ）首先由,得到关于的两个方程,从而求出,这样就可得到 的表达式,根据它的特点可想到用导数的方法求出的极小值; （Ⅱ）由（Ⅰ）中所求的和,易得到它们有一个公共的点,且和在这个点处有相同的切线,这样就可将问题转化为证明和分别在这条切线的上方和下方,两线的上下方可转化为函数与0的大小,即证和成立,从而得到和的值; （Ⅲ）由已知易得,由零点的意义,可得到关于两个方程,根据结构特征将两式相减,得到关于的关系式,又对求导,进而得到,结合上面关系可化简得:,针对特征将当作一个整体,可转化为关于 的函数,对其求导分析得,恒成立.
试题解析：解：（Ⅰ）由，得，解得        2分
则=，
利用导数方法可得的极小值为  5分
（Ⅱ）因与有一个公共点，而函数在点的切线方程为，
下面验证都成立即可               7分
由，得，知恒成立          8分
设，即，易知其在上递增，在上递减，
所以的最大值为，所以恒成立.
故存在这样的k和m，且         10分
（Ⅲ）的符号为正. 理由为：因为有两个零点，则有
，两式相减得 12分
即，于是
 14分
①当时，令，则，且.
设，则，则在上为增函数．而，所以，即. 又因为，所以.
②当时，同理可得：.
综上所述：的符号为正            16分