Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？
（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

Answer 1

分析：（1）以AB、AC、AA₁分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，可得向量

PN

的坐标关于λ的表示式，而平面ABC的法向量

n

=(0，0，1)，可建立sinθ关于λ的式子，最后结合二次函数的性质可得当λ=

1

2

时，角θ达到最大值；
（2）根据垂直向量的数量积等于0，建立方程组并解之可得平面PMN的一个法向量为

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))，而平面PMN与平面ABC所成的二面角等于向量

m

、

n

所成的锐角，由此结合已知条件建立关于λ的方程并解之，即可得到λ的值，从而确定点P的位置．

解答：解：（1）以AB、AC、AA₁分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)，易得平面ABC的一个法向量为

n

=(0，0，1)
则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：
sinθ=|cos＜

PN

，

n

＞|=

| PN • n |

| PN || n |

=

1

(λ- 1 2 )2+ 5 4

（*），于是问题转化为二次函数求最值，
而θ∈[0，

π

2

]，当θ最大时，sinθ最大，
所以当λ=

1

2

时，(sinθ)max=

2 5

5

，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．
（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
即可得到平面ABC的一个法向量为

n

=

AA1

=(0，0，1)，
设平面PMN的一个法向量为

m

=(x，y，z)，

MP

=(λ，-1，

1

2

)．
由

m • NP =0 m • MP =0

得

(λ- 1 2 )x- 1 2 y+z=0 λx-y+ 1 2 z=0

，解得

y= 2λ+1 3 x z= 2(1-λ) 3 x

．
令x=3，得

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))，于是
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|2(1-λ)|

9+(2λ+1)2+4(1-λ)2

=

2

2

，
解之得：λ=-

1

2

，故点P在B₁A₁的延长线上，且|A1P|=

1

2

．

点评：本题给出特殊三棱柱，探索了直线与平面所成角的最大值，并求二面角为45度时动点的位置，着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角和用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档题．