Question

已知向量

a

=（1，cosα），

b

=（1，sinβ），

c

=（3，1），且（

a

+

b

）∥

c

．
（1）若α=

π

3

，求cos2β的值；
（2）证明：不存在角α，使得等式|

a

+

c

|=|

a

-

c

|成立；
（3）求

b

•

c

-

a

²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

cosα+sinβ= 2 3 ，

当α=

π

3

可得sinβ，由二倍角公式可得cos2β；
（2）假设成立，由数量积的运算可得

a • c =0

，即cosα=-3，矛盾；
（3）由（1）可得sinβ=

2

3

-cosα∈[-1，1]，代入可得所求式子为关于cosα的二次函数，进而可得最值．

解答：解：∵

a

+

b

=(2，cosα+sinβ)，

c

=（3，1），且（

a

+

b

）∥

c

．∴

cosα+sinβ= 2 3 ，

…（3分）
（1）∵α=

π

3

，∴cosα=

1

2

，∴sinβ=

1

6

，∴

cos2β=1-2sin2β= 17 18 ．

…（6分）
（2）假设存在角α使得等式成立则有

a

2+2

a

•

c

+

c

2=

a

2-2

a

•

c

+

c

2
∴

a • c =0

，∴cosα=-3，不成立，∴不存在角α使得等式成立．…（11分）
（3）∵

cosα+sinβ= 2 3 ，

∴sinβ=

2

3

-cosα∈[-1，1]，

b • c - a 2=2+sinβ-cos2α=-cos2β-cosα+ 8 3 =-(cosα+ 1 2 )2+ 35 12

∴-

1

3

≤cosα≤

5

3

，又-1≤cosα≤1，∴-

1

3

≤cosα≤1，…（13分）
∴当cosα=1时，ymin=

2

3

．    …（16分）

点评：本题考查平行向量，以及二次函数在闭区间的最值，属基础题．