Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线交曲线于点，倾斜角为的直线过线段的中点且与曲线交于、两点．

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的参数方程；

（2）当直线倾斜角为何值时，取最小值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）曲线的直角坐标方程为；直线的参数方程为（为参数）（2）

【解析】

（1）利用，，可将曲线的极坐标系方程转化为直角坐标系方程，然后求出点A的极坐标并转化为直角坐标，可得点B的坐标，结合倾斜角为，直接写出直线的参数方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线方程，得到韦达定理，设、对应的参数值分别是、，则有，然后可求出最小值.

（1）因为，，

所以曲线的直角坐标方程为，即．

射线交曲线于点，故点的极坐标为，

点的直角坐标为，的中点．

所以倾斜角为且过点的直线的参数方程为（为参数）．

（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线方程中，

并整理得：．

设、对应的参数值分别是、，则有：

故．

当，即时，取最小值，最小值为．