Question

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M、N分别为PD、PB的中点，平面MCN与PA的交点为Q
（Ⅰ）求PQ的长度；
（Ⅱ）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥A-MCNQ的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设Q（0，0，h），由M，N，C，Q共面知：

AQ

=x

AM

+y

AN

+z

AC

，即得到方程组进而求出h=1．即可得答案．
（Ⅱ）面ABCD的法向量为

AP

=(0，0，4)，再求出面MCN的法向量

n

=(u，v，r)=(

2

，1，1)，利用向量的有关运算求出向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
（Ⅲ）由题意可得：

MQ

=(-

2

2

，0，1)=

1

2

CN

并且SCMQ=

1

3

SMCNQ，得V_A-MCNQ=3V_A-CMQ，进而转化为V_A-CMQ=V_C-AMQ，所以即可得到答案．

解答：解：由题设知：以A为原点，AD、AB、AP所在线分别x、y、z轴如图示建立空间直角坐标系，
则有：A(0，0，0) ，B(0，2，0) ，C(

2

，1，0) ，D(

2

，0，0)，P（0，0，4），M(

2

2

，0，2)，N（0，1，2），设Q（0，0，h）
（Ⅰ）由M，N，C，Q共面知：

AQ

=x

AM

+y

AN

+z

AC

且x+y+z=1，于是有：

2 2 x+ 2 z=0 y+z=0 2x+2y=h

即

x=-2z y=-z h=-6z

得h=3
故PQ=1
（Ⅱ）设

n

⊥面MCN，且

n

=(u，v，r)，底面ABCD的法向量为

AP

=(0，0，4)
由

CM

=(-

2

2

，-1，2)，

CN

=(-

2

，0，2)知：

- 2 2 u-v+2r=0 - 2 u+2r=0

即

v=r u= 2 r

取r=1得

n

=(

2

，1，1)，于是有cos?

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP || n |

=

4

4×2

=

1

2

所以截面MCN与底面ABCD所成二面角为60⁰．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知：

MQ

=(-

2

2

，0，1)=

1

2

CN

，
于是SCMQ=

1

3

SMCNQ，得V_A-MCNQ=3V_A-CMQ
由∠CDA=∠BAD=90°知CD⊥面PAD，V_A-CMQ=V_C-AMQ
由S△AMQ=

1

2

AQ(

1

2

AD)=

3 2

4

知：VA-MCNQ=3(

1

3

CD•S△ANQ)=

3 2

4

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的有关运算解决长度、体积、空间角等问题．