Question

【题目】凸边形玫瑰园的个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路想通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形、……），每块区域都栽有一棵白玫瑰（或黑玫瑰）.

（1）求出玫瑰园里玫瑰总棵树的表达式.

（2）花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）解法1：玫瑰园的直小路组成一个凸边形及其对角线，易知图中对角线有条.又由对角线无“三线共点”知，对角线在形内的交点有个.下面先求边形内的区域块数，可得.

现取掉对角线，记与其他对角线有个交点，则图形减少了块区域.记剩下的图形为.

在中取掉对角线，记在中与其他对角线（不包括）有个交点，则图形减少了块区域.记剩下的图形为.

依此类推，每次都在剩下的图形中取掉一条对角线.当取掉最后一条对角线时，其上再无与其他剩下对角线的交点，图形减少了1块区域，最后还剩下1块区域，有.求和.

从而，.

解法2：在每两顶点间连一条弧线，新增加了块弓形区域，设想每一块弓形区域移栽顶点上的红玫瑰，则玫瑰的棵树就是区域的块数.这个问题正是本刊1999年第3期数学奥林匹克高中训练题（38）中的一道题，现给出一种新的证法.

考虑与的递推关系（如图所示）.

对个点的情况增加一点时，与前个点有条连线（上图中虚线），此时图中共有个对角线交点，共增加新交点个.由于每一条连线与原边形中的边或对角线有个交点时，这些交点便把分成条互不重叠的小线段，每条这样的小线段都把所在的区域一分为二，所以，连线就增加了块区域.求和

从而，

（2）通项公式可以改写成

问题转化为方程

的求解.变形，

即

因为为正整数，有.

解得.

所以，当时，玫瑰园恰有99棵玫瑰.