Question

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设M（x，y），欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解，
（2）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决．
解答：解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），依题意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=x²，①
得y'=x．
∴过点P的切线的斜率k=x₁，
∴直线l的斜率k_l=-=-，
∴直线l的方程为y-x₁²=-（x-x₁），②
联立①②消去y，得x²+x-x₁²-2=0．
∵M是PQ的中点
∴x==-，y=x₁²-（x-x₁）
消去x₁，得y=x²++1（x≠0），
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1（x≠0）．

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b）．
分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为P'、Q'，则=．
由y=x²，y=kx+b消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0．③
则y₁+y₂=2（k²+b），y₁y₂=b²．
∴=|b|（）≥2|b|=2|b|=2．
∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，
∴的取值范围是（2，+∞）．
点评：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力．