Question

已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
（2）先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值大于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．
（3）由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与(

cosθ

2

，+∞)内都是增函数，只需（2a-1，a）是区间（-∞，0）与(

cosθ

2

，+∞)的子集即可．

解答：解：（I）解：当cosθ=0时f(x)=4x3+

1

32

，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
故无极值．
（II）解：f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得x1=0，x2=

cosθ

2

．
由0≤θ≤

π

2

及（I），只需考虑cosθ＞0的情况．
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， cosθ 2 ）	cosθ 2	（ cosθ 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

因此，函数f（x）在x=

cosθ

2

处取得极小值f(

cosθ

2

)，且f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

1

32

．
要使f(

cosθ

2

)＞0，必有-

1

4

cos3θ+

1

32

＞0，
可得0＜cosθ＜

1

2

，所以

π

3

＜θ＜

π

2

（III）解：由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与(

cosθ

2

，+∞)内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 cosθ

由（II），参数θ∈(

π

3

，

π

2

)时，0＜cosθ＜

1

2

．要使不等式2a-1≥

1

2

cosθ关于参数θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

．
综上，解得a≤0或

5

8

≤a＜1．
所以a的取值范围是(-∞，0]∪[

5

8

，1)．

点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．