Question

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]＞f(

x1+x2

2

)．
（1）试判断f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并说明理由；
（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），f(1)＞

1

2

，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）f（x）∈A，g（x）∉A．对于f（x）∈A的证明只要看是否满足条件

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)即可，用作差法进行验证．g（x）∉A，可通过举反例来证明，如取x₁=1，x₂=2，不满足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．
（2）受（1）的启发，可从指数函数中去找，先按照条件“当x∈（0，+∞）时，
值域为（0，1）且f(1)＞

1

2

”找到，再证明是否满足条件

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)条件即可．

解答：解：（1）f（x）∈A，g（x）∉A．（2分）
对于f（x）∈A的证明．任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+x22

2

-(

x1+x2

2

)2=

x12-2x1x2+x22

4

=

1

4

(x1-x2)2＞0
即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．∴f（x）∈A（3分）
对于g（x）∉A，举反例：当x₁=1，x₂=2时，

g(x1)+g(x2)

2

=

1

2

(log21+log22)=

1

2

，
g(

x1+x2

2

)=log2

1+2

2

=log2

3

2

＞log2

2

=

1

2

，
不满足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．∴g（x）∉A．（4分）

（2）函数f(x)=(

2

3

)x，当x∈（0，+∞）时，
值域为（0，1）且f(1)=

2

3

＞

1

2

．（6分）
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
则

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

[(

2

3

)x1+(

2

3

)x2-2•(

2

3

)

x1+x2

2

]
=

1

2

{[(

2

3

)

x1

2

]2-2•(

2

3

)

x1

2

•(

2

3

)

x2

2

+[(

2

3

)

x2

2

]2}=

1

2

[(

2

3

)

x1

2

-(

2

3

)

x2

2

]2＞0
即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
∴f(x)=(

2

3

)x∈A．是一个符合条件的函数．（8分）

点评：本题是一道情境题，主要考查不等式的证明以及不等式的应用，还考查了构造思想，如本题中f（x）构造类型f（x）=a^x(

1

2

＜a＜1)或f(x)=

k

x+k

（k＞1）很常见．