Question

函数f（x）=-ax²+4x+1的定义域为[-1，2]，
（1）若a=2，求函数f（x）的值域；
（2）若a为非负常数，且函数f（x）是[-1，2]上的单调函数，求a的范围及函数f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）当a=2时，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3 …（2分）
当x∈[-1，1]时，f（x）单调递增，当x∈[1，2]时，f（x）单调递减，
f（x）_max=f（1）=3，
又∵f（-1）=-5，f（2）=1，
∴f（x）_min=f（-1）=-5，
∴f（x）的值域为[-5，3]…（6分）
（2）当a=0时，f（x）=4x+1，在[-1，2]内单调递增，…（7分）
当a＞0时，f（x）=，…（8分）
又f（x） 在[-1，2]内单调
∴或
∴-2≤a＜0或0＜a≤1
∵a＞0
∴0＜a≤1，此时函数在[-1，2]内单调递增
综上：当0≤a≤1时，f（x）在[-1，2]内单调递增，
∵f（x）_min=f（-1）=-a-3，f（x）_max=f（2）=-4a+9，
∴值域为[-a-3，-4a+9]
故a的取值范围是[0，1]，f（x）值域为[-a-3，-4a+9]-----（12分）
分析：（1）当a=2时，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，当x∈[-1，1]时，f（x）单调递增，当x∈[1，2]时，f（x）单调递减，故可求函数f（x）的值域；
（2）分类讨论：当a=0时，f（x）=4x+1，在[-1，2]内单调递增；当a＞0时，根据函数f（x）是[-1，2]上的单调函数，可确定0＜a≤1时，f（x）在[-1，2]内单调递增，从而可求函数的值域及a的范围
点评：本题以二次函数为载体，考查函数的值域，考查函数的单调性，掌握二次函数值域研究的方法，明确函数的单调性与对称轴的关系是关键