Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，试判断的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上是增函数，

当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；

（2）1

【解析】

（1）对求导后对进行分类讨论，找到和的区间，即为的单调区间.

（2）由（1）可知时，有极大值和极小值，研究他们的正负，并且找到令的点，根据零点存在定理，找出零点个数.

（1）函数的定义域为，，令，则，，

（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，

（ii）若，则，

当时，，是增函数，

当时，，是减函数，

当时，，是增函数，

（iii）若，则，

当时，，是增函数，

当时，，是减函数，

当时，，是增函数，

综上所述：当时，在上是增函数，

当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；

（2）当时，

在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

所以的极小值为，

的极大值为,

设，其中，

,

所以在上是增函数，

所以，

因为，

所以有且仅有1个，使.

所以当时，有且仅有1个零点.