Question

已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且满足下列条件：

①对于任意x∈［0，1］，总有f(x)≥3，且f(1)=4；

②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)－3．

（Ⅰ）求f(0)的值；

（Ⅱ）求证：f(x)≤4；

（Ⅲ）证明：f()≤+3(n∈N^*)；

（Ⅳ）当x∈(］(n=1，2，3，……)时，试证明f(x)＜3x+3．

Answer 1

（Ⅰ）解:令x₁=x₂=0,由①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,

∴f(0)≥3.                             

又由②得f(0)≥2f(0)-3,

即f(0)≤3;                    

∴f(0)=3.                                 

（Ⅱ）证明:任取x₁、x₂∈［0,1］,且设x₁＜x₂,

则f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］≥f(x₁)+f(x₂-x₁)-3,    

∵0＜x₂-x₁≤1,∴f(x₂-x₁)≥3,

即f(x₂-x₁)-3≥0.∴f(x₁)≤f(x₂).           

∴当x∈［0,1］时,f(x)≤f(1)=4.         

（Ⅲ）证明:用数学归纳法证明：f()≤+3(n∈N^*).

(1)当n=1时,f()=f(1)=4=1+3=+3,不等式成立；  

(2)假设当n=k时,f()≤+3(k∈N^*),

由f()=f［+(+)］≥f()+f(+)-3≥f()+f()+f()-6，

得3f()≤f()+6≤+9.∴f()≤+3,

即当n=k+1时,不等式成立；

由(1)(2),可知不等式f()≤+3对一切正整数都成立； 

（Ⅳ）由（Ⅲ）,当x∈(,］(n=1,2,3,…)时,

3x+3＞3×+3=+3≥f(),            …

由（Ⅱ），x∈（0,1］,f(x)单调递增或者恒为常数，∴f()≤f()， 

∴f(x)＜f()＜3x+3.