Question

（2009•闸北区二模）设a，b∈R，且a²-ab+b²=a+b，则a+b的取值范围为

[0，4]

．

Answer 1

分析：设a+b=t，由已知中a²-ab+b²=a+b，可得3ab=t²-t，结合基本不等式的变形（a+b）²≥4ab，我们可构造一个关于t的不等式，解不等式求出t的取值范围，即a+b的取值范围．

解答：解：设a+b=t，则a²-ab+b²=t²-3ab，
∵a²-ab+b²=a+b，
∴3ab=t²-t，
由于（a+b）²≥4ab，
即3t²≥4（t²-t），
即t²-4t≤0
解得0≤t≤4
故a+b的取值范围为[0，4]
故答案为：[0，4]

点评：本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，其中根据已知条件，利用换元法，结合基本不等式的变形（a+b）²≥4ab，构造一个关于t的不等式，是解答本题的关键．