Question

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b；
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用正弦定理再化简得到a+c=2b，即可得证；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosB及b的值代入计算，再利用完全平方公式变形，把b的值代入a+c=2b求出a+c的值，进而确定出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
由正弦定理得，sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得，a+c=2b，
则a，b，c成等差数列；
（2）∵∠B=60°，b=4，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得4=a²+c²-2accos60°，即（a+c）²-3ac=16，
又a+c=2b=8，
解得，ac=16（或者解得a=c=4），
则S_△ABC=

1

2

acsinB=4

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．