Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）若二面角E-BC-F与二面角F-BC-D的大小相等，求DF长．

Answer 1

分析：（I）连接AC，BD交于O，连OF，利用三角形的中位线平行于底边得到OF∥BE，利用直线与平面平行的判定定理得证．
（II）法一：利用二面角的平面角的定义，通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质找出二面角E-BC-D的平面角与二面角F-BC-D的平面角，利用已知条件得到线段的长度关系．
法二：通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，利用向量的数量积公式求出二面角E-BC-F的余弦值，同理求出二面角D-BC-F的余弦值，根据已知它们的绝对值相等，列出方程求出DF的长度．

解答：证明：（Ⅰ）连接AC，BD交于O，连OF，如图1
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（Ⅱ）如图2，过E作EH⊥AD于H，过H作MH⊥BC
于M，连接ME，同理过F作FG⊥AD于G，过G作NG⊥BC于N，连接NF，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，
∴HE⊥BC，
∴BC⊥平面MHE，
∴∠HME为二面角E-BC-D的平面角，
同理，∠GNF为二面角F-BC-D的平面角，
∵MH∥AB，
∴MH=3

2

，
又HE=

3 2

2

，
∴tan∠HME=

1

2

，而∠HME=2∠GNF，
∴tan∠GNF=

5

-2，
∴

GF

GN

=

5

-2，GF=3

10

-6

2

，
又GF∥HE，
∴

DF

DE

=

GF

EH

，
∴DF=6

5

-12．…（15分）
解法二：
（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，如图建立坐标系，
则E（3，0，0），F（a，0，0），C(0，3

2

，0)，A（3，0，3），D（0，0，0）
由

DC

=

AB

得B(3，3

2

，3)，设

n1

⊥平面ABCD，
且

n1

=(x，y，z)，
由

n1 • DC =0 n1 • DA =0

⇒

y=0 x+z=0

⇒

n1

=(1，0，-1)
设

n2

⊥平面BCF，且

n2

=(x，y，z)，
由

n2 • BC =0 n2 • CF =0

⇒

x+z=0 ax-3 2 y=0

⇒

n2

=(3

2

，a，-3

2

)
设

n3

⊥平面BCE，且

n3

=(x，y，z)，
由

n3 • BC =0 n3 • CE =0

⇒

x+z=0 x- 2 y=0

⇒

n2

=(

2

，1，-

2

)
设二面角E-BC-F的大小为α，二面角D-BC-F的大小为β，α=β，|cos＜

n1

，

n2

＞|=|cos＜

n3

，

n2

＞|，
∴

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

| n3 • n2 |

| n3 |•| n2 |

⇒6=

|12+a|

5

⇒a=-12±6

5

，
∵0＜a＜3，∴a=6

5

-12．…（15分）

点评：主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
在高考中以解答题的形式出现，常用的工具是空间向量．