Question

已知函数
（I）求证 
（II）若取值范围.

Answer 1

（I）见解析（II）

（I）解法一要证
令，则，可得在
[0,1]上为增函数，故。
要证，也就是证，即证，也就是证
令，则可得在[0,1]上为增函数，
故
综上可得
（I）解法二要证，也就是证
令，令
，即为增函数，
，可得在 [0,1]上为增函数，
故；
要证，也就是证，即证，令
，，可得
即，从而得，故
综上可得
（II）

，
，
,从而
所以，
下面注明，
=
，令则

于是，
此时
综上
第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理，使得函数的结构变得简单对称，求得导函数也就变得简单了，但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数，比较容易想到，但是求出导函数后又变得无从下手，这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。
第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩，转化为另一个函数进行分析解答。
【考点定位】本题考查函数与导数，导数与不等式的综合应用。