Question

【题目】已知函数（为常数）．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为．（2）

【解析】

试题分析：（1）首先求函数的导数 ，分 三种情况解 或 的解集，得到函数的单调区间；（2）首先求 ，得到 ，根据 ，得到 ，代入 并化简为，根据前面根与系数的关系和的取值范围，得到的取值范围，通过设转化为关于的函数求最小值.

试题解析：（1），，

当时，由，解得，即当时，，单调递增；由解得，即当时，，单调递减；

当时，，即在上单调递增；

当时，，故，即在上单调递增．

所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为．

（2）由得，

由已知有两个互异实根，，

由根与系数的关系得，，

因为，（）是的两个零点，故 ①

②

由②①得：，

解得，

因为，得，

将代入得

，

所以，

设，因为，

所以，所以，

所以，所以．

构造，得，

则在上是增函数，

所以，即的最小值为．