Question

数列{a_n}满足的前n项和S_n=2n-a_n，n∈N^*
（1）计算数列{a_n}的前4项；
（2）猜想a_n的表达式，并证明；
（3）求数列{n•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1、2、3、4，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出数列{a_n}的前4项，
（2）根据a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2-a_n+a_n-1即：a_n=a_n-1+2，然后整理得a_n-2=（a_n-2），进而求出a_n的通项公式，
（3）首先求出数列{n•a_n}的数列表达式，然后等差数列求和公式求出数列{2n}的前n项和，再利用错位相减法求出数列{}的前n项和，进而求出数列{n•a_n}的前n项和T_n．
解答：解：（1）计算得：．（3分）
（2）∵s_n=2n-a_n当n≥2时
∴s_n-1=2（n-1）-a_n-1两式相减可得：a_n=2-a_n+a_n-1即：
∵
所以，数列{a_n-2}是首项为a₁-2=-1公比为的等比数列
∵
即（7分）
当n=1时，a₁=1，
∴，
（3）因为
设数列的前n项和为M_nM_n
=+++
=+++
两式相减可得：=++++-
=-=-
=2-M_n
=4-（12分）
点评：本题主要考查数列求和和数列递推式的知识点，求数列递推式可以用数学归纳法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通项公式，第三问求和需要利用错位相减法解答，本题难度不是很大．