Question

（09年朝阳区二模文）（13分）

  如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，.

(Ⅰ) 求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：证明：（Ⅰ）因为底面，

所以是与平面所成的角，

由已知， 所以.

易求得，, 又因为，

所以, 所以.

因为底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.………………………………6分

（Ⅱ）设为中点. 连结，由于底面，且平面，则平面平面.

因为，所以平面.

过作，垂足为，连结，

由三垂线定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易证明∽，则，

因为，，，所以.

在中，因为，所以，

所以二面角的大小为.………………………………13分

解法二:

因为底面，

所以是与平面所成的角，

由已知，

所以.

建立空间直角坐标系（如图）.

由已知，为中点.

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，， .

因为, ,

所以，.

因为，所以平面.………………………………6分

（Ⅱ）设平面的法向量为，

由  得   解得，

所以.

因为平面，所以是平面的法向量， 易得.

所以.

所以二面角的大小为.………………………………13分