Question

设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
（1）

1

a

+

1

b

+

1

ab

≥8；
（2）（a+2）²+（b+2）²≥

25

2

．

Answer 1

分析：（1）利用1的代换把不等式的左边变形后，使用基本不等式可证不等式成立．
（2）用不等式的左边减去右边，再使用1的代换配方可证左边减去右边大于或等于0．

解答：证明：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=1，
 左边=

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

a+b

a

+

a+b

b

+

a+b

ab

=2+

b

a

+

a

b

+

1

b

+

1

a

=2+

b

a

+

a

b

+

a+b

b

+

a+b

a

=4+2

b

a

+2

a

b

≥4+2

2 b a • 2 a b

=8，
∴

1

a

+

1

b

+

1

ab

 ≥8成立．
（2）∵(a+2)2+(b+2)2-

25

2

=a²+b²+4a+4b-

9

2

=a²+b²-

1

2

 
=a²+b²-

(a+b)2

2

=

a2+b2-2ab

2

=

(a+b)2

2

≥0，
∴(a+2)2+(b+2)2 ≥

25

2

 成立．

点评：本题考查基本不等式的应用，用比较法证明不等式，式子的变形是证明的关键．