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设a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8;
(2)(a+2)2+(b+2)2
25
2
分析:(1)利用1的代换把不等式的左边变形后,使用基本不等式可证不等式成立.
(2)用不等式的左边减去右边,再使用1的代换配方可证左边减去右边大于或等于0.
解答:证明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1,
 左边=
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
a+b
a
+
a+b
b
+
a+b
ab
=2+
b
a
+
a
b
+
1
b
+
1
a

=2+
b
a
+
a
b
+
a+b
b
+
a+b
a
=4+2
b
a
+2
a
b
≥4+2
2
b
a
• 2
a
b
=8,
1
a
+
1
b
+
1
ab
 ≥8
成立.
(2)∵(a+2)2+(b+2)2-
25
2
=a2+b2+4a+4b-
9
2
=a2+b2-
1
2
 
=a2+b2-
(a+b)2
2
=
a2+b2-2ab
2
=
(a+b)2
2
≥0,
(a+2)2+(b+2)2 ≥
25
2
 成立.
点评:本题考查基本不等式的应用,用比较法证明不等式,式子的变形是证明的关键.
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a
+
1
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a
+
b
2
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