Question

（本小题满分12分）
设，且,定义在区间内的函数是奇函数.
（1）求的取值范围；
（2）讨论函数的单调性并证明.

Answer 1

（1）. （2）在（-b,b)内是减函数，具有单调性.

试题分析：（1）由函数f（x）在区间（-b，b）是奇函数，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系数法求得a；同时函数要有意义，即＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得结果．
（2）选用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．
解 （1）是奇函数等价于：
对任意都有…………………2分
（1）式即为，由此可得,也即,…………………4分
此式对任意都成立相当于,因为,所以，
代入②式，得＞0,即,此式对任意都成立相当于,…………………6分
所以的取值范围是.…………………7分
（2）设任意的，且,由，得,
所以…………………9分
从而 
因此在（-b,b)内是减函数，具有单调性. …………………12分
点评：解决该试题的关键是要注意定义域优先考虑原则，以及作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系。