Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

1

2

PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形中位线定理可得OD∥PA，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和直线OD的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线OD与平面PBC所成角的正弦值

解答：证明：（1）∵点O，D分别是AC，PC的中点，
∴OD∥PA
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB；
（2）连接OB，
∵AB=BC，点O是AC的中点，
∴OB⊥AC
又∵OP⊥底面ABC．
故可以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
令AB=BC=

1

2

PA=1，AB⊥BC，
则OA=OB=OC=

2

2

，OP=

14

2

则O（0，0，0），B（

2

2

，0，0），C（0，

2

2

，0），P（0，0，

14

2

），D（0，

2

4

，

14

4

）
∴

OD

=（0，

2

4

，

14

4

），

BC

=（-

2

2

，

2

2

，0），

PC

=（0，

2

2

，-

14

2

）
设

m

=（x，y，z）是平面PBC的一个法向量
则

m • BC =0 m • PC =0

，即

- 2 2 x+ 2 2 y=0 2 2 y- 14 2 z=0

令z=1，则

m

=（

7

，

7

，1）
直线OD与平面PBC所成角θ满足：
sinθ=

| m • OD |

| m |•| OD |

=

210

30

故直线OD与平面PBC所成角的正弦值为

210

30

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答（1）的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答（2）的关键．