Question

已知：f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

为奇函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）求函数值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由分式函数的分母不等于0求解x的取值集合得原函数的定义域；
（Ⅱ）利用奇函数的概念，由f（-x）+f（x）=0恒成立列式求a的值；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的a的值代入函数解析式，然后化简整理，把2^x用含有y的代数式表示，由2^x＞0，求解关于y的分式不等式，最后得到原函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）要使原函数有意义，则2^x-1≠0，解得：x≠0，所以，原函数的定义域为{x|x≠0}；
（Ⅱ）因为f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

为奇函数，
所以有f（-x）+f（x）=0恒成立，即

a•2-x-1-a

2-x-1

+

a•2x-1-a

2x-1

=0恒成立，
整理得：

a-(a+1)•2x

1-2x

+

a•2x-1-a

2x-1

=0，
（a+1）•2^x-a+a•2^x-1-a=0，
也就是（2a+1）•（2^x-1）=0恒成立，
则a=-

1

2

．
（Ⅲ）把a=-

1

2

代入原函数得，f(x)=

- 1 2 •2x- 1 2

2x-1

=

1+2x

2(1-2x)

，
由y=

1+2x

2(1-2x)

，得2y-2y•2^x=1+2^x，
即2^x（2y+1）=2y-1，则2x=

2y-1

2y+1

，
由2x=

2y-1

2y+1

＞0，得：y＜-

1

2

，或y＞

1

2

．
所以，函数的值域为（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的奇偶性，由函数的奇偶性求解代求系数时，往往转化为恒等式的系数为0求解，考查了利用有界性求解函数的值域，此题属中档题．