Question

【题目】椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 则该椭圆的离心率等于 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图所示，
由直线y= 可知倾斜角α与斜率 有关系 =tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， ∴ ，∴ ．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则 ，解得 ．
∴该椭圆的离心率e= ．
故答案为 ．

由直线y= 可知斜率为 ，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 可得 ，进而 ．
设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得 ，解出a，c即可．