Question

【题目】已知抛物线和的焦点分别为，点且为坐标原点）．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）8.

【解析】

（1）根据为坐标原点），利用坐标运算即可求出，写出抛物线方程；（2）联立直线与抛物线方程求出的坐标，写出弦长，求出到直线 的距离，写出面积，利用换元法求其最值即可.

（1）F1（1，0），，

∴，，

∴p=2，

∴抛物线C2的方程为x2=4y；

（2）设过点O的直线为y=kx，

联立得（kx）2=4x，求得M（，），

联立得N（4k，4k2）（k＜0），

从而，

点P到直线MN的距离，

进而

=，

令，

有S△PMN=2（t-2）（t+1），

当t=-2时k=-1，取得最小值．

即当过原点直线为y=-x，

△PMN面积的面积取得最小值8．